Значение слова подмножество. Как найти все подмножества множеств Множество является подмножеством другого множества

02.12.2021

Кашель

На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.

Пример 1. Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:

Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.

Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.

Всего: 16 подмножеств.

Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.

Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
. любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
. У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.

Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.

Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n

Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.

Теорема. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .

Доказательство. Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2 2) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2 3) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n 0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n 0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.

1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.

2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .

3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A - это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.

Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.

В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.

Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.

Пример 2. Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}

Калькулятор множества всех подмножеств.

В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о} , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.

Принадлежащие $A$ , также принадлежит $B$ . Формальное определение:

$(A \subset B) \Leftrightarrow \forall x. (x \in A \Rightarrow x \in B).$

Множество $B$ называется надмно́жеством множества $A$ , если $A$ - подмножество $B$ .

Существует два символических обозначения для подмножеств:

Обе системы обозначений используют символ $\subset$ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что $B$ называется надмножеством $A$ , часто записывают $B \supset A$ .

Множество всех подмножеств множества $A$ обозначается $\mathcal{P}(A)$ и называется булеаном .

Собственное подмножество

Любое множество $B$ является своим подмножеством. Если мы хотим исключить $B$ из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного

Множество $A$ является собственным подмножеством множества $B$ , если $A \subset B$ и $A \ne B$ .

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество $A$ является нетривиальным подмножеством множества $B$ , если $A$ является собственным подмножеством $B$ и $A \ne \varnothing$ .

Примеры

Множества $\varnothing, \{0\}, \{1,3,4\}.$ $\{ 0,1,2,3,4,5\}$
Множества $\{ \varnothing, \uparrow, moose \}, \{ $,%,*,\uparrow \}, \{\varnothing\}, \varnothing$ являются подмножествами множества $\{ $, %, \varnothing, \uparrow, *, moose \}$
Пусть $A = \{a,b\}$ , тогда $\mathcal{P}(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}$ .
Пусть $A = \{1,2,3,4,5\},\; B = \{1,2,3\},\; C = \{4,5,6,7\}$ . Тогда $B \subset A,\; C \not\subset A$ .

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств .

Отношение подмножества является отношением частичного порядка :
- Отношение подмножества рефлексивно : $B \subset B$
- Отношение подмножества антисимметрично : $(A \subset B \; \and \; B \subset A) \Leftrightarrow (A = B)$
- Отношение подмножества транзитивно : $(A \subset B \;\and \; B \subset C) \Rightarrow (A \subset C)$
Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества: $\varnothing \subset B$
Для любых двух множеств A и B следующие утверждения эквивалентны:
- $A \subset B.$
- $A \cap B = A.$
- $A \cup B = B.$
- $B^{\complement} \subset A^{\complement}.$

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у $n$ -элементного множества существует $2^n$ подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет $n$ -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества $n$ -элементного множества из $k\le n$ элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом $\textstyle\binom{n}{k}$ . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать $n$ способами, второй $n-1$ способом, и так далее, и, наконец, $k$ -й элемент можно выбрать $n-k+1$ способом. Таким образом мы получим последовательность из $k$ элементов, и ровно $k!$ таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется $\textstyle\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}=\binom{n}{k}$ таких подмножеств.

Напишите отзыв о статье "Подмножество"

Примечания

Литература

Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. - 3-е изд., стереотип. - М .: МЦНМО, 2008. - 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0 .



Формальная

Математическая (теоретическая, символическая)	2 константы : 0 1

См. также

Отрывок, характеризующий Подмножество

– Я не виноват, что разговор зашел при других офицерах. Может быть, не надо было говорить при них, да я не дипломат. Я затем в гусары и пошел, думал, что здесь не нужно тонкостей, а он мне говорит, что я лгу… так пусть даст мне удовлетворение…
– Это всё хорошо, никто не думает, что вы трус, да не в том дело. Спросите у Денисова, похоже это на что нибудь, чтобы юнкер требовал удовлетворения у полкового командира?
Денисов, закусив ус, с мрачным видом слушал разговор, видимо не желая вступаться в него. На вопрос штаб ротмистра он отрицательно покачал головой.
– Вы при офицерах говорите полковому командиру про эту пакость, – продолжал штаб ротмистр. – Богданыч (Богданычем называли полкового командира) вас осадил.
– Не осадил, а сказал, что я неправду говорю.
– Ну да, и вы наговорили ему глупостей, и надо извиниться.
– Ни за что! – крикнул Ростов.
– Не думал я этого от вас, – серьезно и строго сказал штаб ротмистр. – Вы не хотите извиниться, а вы, батюшка, не только перед ним, а перед всем полком, перед всеми нами, вы кругом виноваты. А вот как: кабы вы подумали да посоветовались, как обойтись с этим делом, а то вы прямо, да при офицерах, и бухнули. Что теперь делать полковому командиру? Надо отдать под суд офицера и замарать весь полк? Из за одного негодяя весь полк осрамить? Так, что ли, по вашему? А по нашему, не так. И Богданыч молодец, он вам сказал, что вы неправду говорите. Неприятно, да что делать, батюшка, сами наскочили. А теперь, как дело хотят замять, так вы из за фанаберии какой то не хотите извиниться, а хотите всё рассказать. Вам обидно, что вы подежурите, да что вам извиниться перед старым и честным офицером! Какой бы там ни был Богданыч, а всё честный и храбрый, старый полковник, так вам обидно; а замарать полк вам ничего? – Голос штаб ротмистра начинал дрожать. – Вы, батюшка, в полку без году неделя; нынче здесь, завтра перешли куда в адъютантики; вам наплевать, что говорить будут: «между павлоградскими офицерами воры!» А нам не всё равно. Так, что ли, Денисов? Не всё равно?
Денисов всё молчал и не шевелился, изредка взглядывая своими блестящими, черными глазами на Ростова.
– Вам своя фанаберия дорога, извиниться не хочется, – продолжал штаб ротмистр, – а нам, старикам, как мы выросли, да и умереть, Бог даст, приведется в полку, так нам честь полка дорога, и Богданыч это знает. Ох, как дорога, батюшка! А это нехорошо, нехорошо! Там обижайтесь или нет, а я всегда правду матку скажу. Нехорошо!
И штаб ротмистр встал и отвернулся от Ростова.
– Пг"авда, чог"т возьми! – закричал, вскакивая, Денисов. – Ну, Г"остов! Ну!
Ростов, краснея и бледнея, смотрел то на одного, то на другого офицера.
– Нет, господа, нет… вы не думайте… я очень понимаю, вы напрасно обо мне думаете так… я… для меня… я за честь полка.да что? это на деле я покажу, и для меня честь знамени…ну, всё равно, правда, я виноват!.. – Слезы стояли у него в глазах. – Я виноват, кругом виноват!… Ну, что вам еще?…
– Вот это так, граф, – поворачиваясь, крикнул штаб ротмистр, ударяя его большою рукою по плечу.
– Я тебе говог"ю, – закричал Денисов, – он малый славный.
– Так то лучше, граф, – повторил штаб ротмистр, как будто за его признание начиная величать его титулом. – Подите и извинитесь, ваше сиятельство, да с.
– Господа, всё сделаю, никто от меня слова не услышит, – умоляющим голосом проговорил Ростов, – но извиняться не могу, ей Богу, не могу, как хотите! Как я буду извиняться, точно маленький, прощенья просить?
Денисов засмеялся.
– Вам же хуже. Богданыч злопамятен, поплатитесь за упрямство, – сказал Кирстен.
– Ей Богу, не упрямство! Я не могу вам описать, какое чувство, не могу…
– Ну, ваша воля, – сказал штаб ротмистр. – Что ж, мерзавец то этот куда делся? – спросил он у Денисова.
– Сказался больным, завтг"а велено пг"иказом исключить, – проговорил Денисов.
– Это болезнь, иначе нельзя объяснить, – сказал штаб ротмистр.
– Уж там болезнь не болезнь, а не попадайся он мне на глаза – убью! – кровожадно прокричал Денисов.
В комнату вошел Жерков.
– Ты как? – обратились вдруг офицеры к вошедшему.
– Поход, господа. Мак в плен сдался и с армией, совсем.
– Врешь!
– Сам видел.
– Как? Мака живого видел? с руками, с ногами?
– Поход! Поход! Дать ему бутылку за такую новость. Ты как же сюда попал?
– Опять в полк выслали, за чорта, за Мака. Австрийской генерал пожаловался. Я его поздравил с приездом Мака…Ты что, Ростов, точно из бани?
– Тут, брат, у нас, такая каша второй день.
Вошел полковой адъютант и подтвердил известие, привезенное Жерковым. На завтра велено было выступать.
– Поход, господа!
– Ну, и слава Богу, засиделись.

Кутузов отступил к Вене, уничтожая за собой мосты на реках Инне (в Браунау) и Трауне (в Линце). 23 го октября.русские войска переходили реку Энс. Русские обозы, артиллерия и колонны войск в середине дня тянулись через город Энс, по сю и по ту сторону моста.

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» - так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.
Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:
1° Множество может состоять из любых различимых объектов.
2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х - объект, Р - свойство, Р(х) - обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Термин «множество » употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:
а) множестве пчёл в улье,
б) множестве точек отрезка,
в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,
г) множестве студентов в аудитории и т.д.
В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными . Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Наиболее простая форма задания множества — перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов — целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания — указание свойств элементов множества, например A = {x| x^2 ≤ 4} — множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы — малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение — B ⊆ A или A ⊇ B).

Каждое множество является своим подмножеством (это самое «широкое» подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое «узкое» подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого «наибольшего» множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества — множества А и В, B ⊂ A. Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна .

Урок и презентация на тему: "Множества и подмножества, примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Электронное учебное пособие для учащихся 7-9 классов "Понятная алгебра"

Множества и подмножества

Ребята, мы переходим к изучению очень важной темы "Множества". Множества нам будут встречаться постоянно, в курсах математики за более старшие классы и в 9 классе почти все темы тесно связанны с данным понятием. Поэтому постарайтесь хорошо усвоить данную тему.

Так что же такое множество?
Множествами занимается специальный раздел математики теория множеств. Множество – одно из главных и фундаментальных понятий. Определения у него нет, но давайте попробуем понять, что же такое множество? Множество – это совокупность различных элементов, их можно посчитать, сгруппировать. Примерами множеств могут служить буквы алфавита – множество, состоящее из 33 элементов. Множество яблок на дереве – количество яблок на дереве, конечно и его можно посчитать и занумеровать. Примеров множеств можно придумать очень много. Попробуйте сами придумать какой-нибудь пример.
В математике множество обозначается в фигурных скобках {,}. Например, множество первых пяти букв английского алфавита обозначат вот так: {A,B,C,D,E}. Если записать это множество в другом порядке, оно не изменится.
Математика настолько интересный предмет, что у нас есть понятие пустого множества и бесконечного множества. Пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента, его обозначают без скобок и используют значок Ø. Бесконечное множество, наверняка понятно из названия – множество, в котором бесконечное количество элементов, например множество всех чисел.
Множества можно описать различными словами, например, {10, 12, 16, 18, ..., 96 ,98} – это множество четных двузначных чисел. Многоточие используется, когда элементов очень много и все их записать сложно, но при этом запись множества должна быть понятной, и чтобы по ней можно было определить, что это за множество.
$ \{x| -2

Существуют специальные обозначения множеств. Например, для множества натуральных чисел. Ребята, а вы помните, как это множество обозначается?
Для обозначения принадлежности элемента множеству используется специальный знак $ϵ$. Запись $2 ϵ \{2,4,6,8... \}$. Читается так: "Два принадлежит множеству четных чисел".

Пример.
Некоторое множество состоит из корней уравнения $x^3+3x^2+2x=0$. Найдите элементы этого множества и перечислите все возможные варианты расположения элементов.

Решение.
Давайте решим уравнение, вынесем х за скобки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тогда решения нашего уравнения: $x=0;-2;-1$ – это и есть элементы искомого множества.
Давайте запишем возможные варианты расположения элементов:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Пример .
Опишите данные множества.

$а) \{1,2,3,4,...,9,10 \} \\ б) \{1,8,27,64 ... \}$
Решение.
а) Множество натуральных чисел от 1 до 10.
б) Множество всех значений кубов натуральных чисел.

Пример .
Решив неравенство, записать его решения в виде числового промежутка:

А) $\{x^2 | x^2+1>0\}$
б) $\{x| 1/x в) $\{x |x^2+7x+12
Решение.
а) $x^2+1>0$ больше нуля при всех х. Тогда числовой промежуток запишется в виде: $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Подмножество

Если из нашего множества выбрать несколько элементов и сгруппировать их отдельно – то это будет подмножество нашего множества. Комбинаций, из которых можно получить подмножество много, количество комбинаций лишь зависит от количества элементов в исходном множестве.
Пусть у нас есть два множества А и Б. Если каждый элемент множества Б является элементом множества А, то множество Б называется подмножеством А. Обозначается: Б ⊂ А. Пример.
Сколько существует подмножеств множества А={1, 2, 3}.
Решение.
Подмножества состоя из элементов нашего множества. Тогда у нас существует 4 варианта по количеству элементов в подмножестве:
Подмножество может состоять из 1 элемента, из 2, 3 элементов и может быть пустым. Давайте последовательно запишем наши элементы.
Подмножество из 1 элемента: {1}, {2}, {3}.
Подмножество из 2 элементов: {1, 2}; {1, 3}; {2, 3}.
Подмножество из 3 элементов: {1, 2, 3}.

Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите множество решений уравнения: $2x^3+8x^2+6x=0$. Перечислите все возможные варианты расположения элементов.
2. Опишите множество:
$a) \{1, 3, 5, 7...99 \} \\b) \{1, 4, 7, 10, 13, 16 \} \\ c) \{5, 10, 15, 20 ... 995 \}$
3. Сколько существует подмножеств множества А={3, 4, 5, 6}.

Два множества A и B равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Из этого принципа следует, что для любых двух различных множеств всегда найдется некоторый объект, являющийся элементом одного из них и не являющийся элементом другого. Так как пустые совокупности не содержат элементов, то они не различимы и поэтому пустое множество – единственно.

Подмножества. Определение равенства множеств можно сформулировать иначе, используя понятие подмножества.

Определение. Множество A называется подмножеством множества B , если каждый элемент A является элементом B.

Следствие 1. Очевидно,
для любого множества A, т.к. каждый элемент из A есть элемент из A.

Следствие 2. Для любого множества A,
, ибо если бы пустое множество не являлось подмножеством A, то в пустом подмножестве существовали бы элементы, не принадлежащие A. Однако пустое множество не содержит вообще ни одного элемента.

Если
, то пишут
, и если
, то A – собственное подмножество B.

Понятие подмножества множеств позволяет легко формализовать понятие равенства двух множеств.

Утверждение. Для любых A и B

Логическую эквивалентность, определяемую выражением (1.1) используют как основной способ доказательства равенства двух множеств.

Замечание . Отношение включения  обладает рядом очевидных свойств:

(рефлексивность);

(транзитивность).

Для любого множества X можно определить специальное множество всех подмножеств множества X, которое называется булеаном ℬ
, которое включает в себя само множество X, все его подмножества и пустое множество
.

Пример. Пусть
– это множество, состоящее из трех элементов. Тогда булеанℬ (X) это множество:

Собственными подмножествами ℬ (X) являются следующие множества:

{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}.

В общем случае, если множество X содержит n элементов, то множество его подмножеств ℬ (X) состоит из элементов.

Операции на множествах.

Пусть U – универсальное множество,
. Тогда для множеств X,Y можно определить операции
.

Определение . Объединением множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств (X или Y):

Рис. 1.1 – Объединение множеств Рис. 1.2 – Пересечение множеств

Определение . Пересечением множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов, входящих в X и в Y одновременно:

Определение . Разностью множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов, входящих в множество X, но не входящих в Y:

Рис. 1.3 – Разность множеств
Рис. 1.4 – Симметрическая

разность множеств

Определение . Симметрической разностью двух множеств X и Y называется множество
, состоящее из элементов множества X и элементов множества Y, за исключением элементов, являющихся общими для обоих множеств:

Определение . Для любого множества
дополнением множествадо U называется такое множество, что:

Рис. 1.5 – Дополнение множества X до U

На рис. 1.1  1.5 представлены диаграммы Венна, наглядно демонстрирующие результаты операций
.

Дополнение множества иногда обозначается
. Операции
связаны между собой законами де Моргана:

, (1.7)

. (1.8)

В справедливости законов де Моргана легко убедиться самостоятельно.

В таблице 1.1 представлены основные свойства операций над множествами.

Таблица 1.1

	Свойства операций	Объединение, пересечение, дополнение
	коммутативность	,
	ассоциативность
	дистрибутивность
	идемпотентность	, , , , ,
	теоремы де Моргана	,
	инволюция